log(1/2)*1/log(1/x)<2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(1/2)*1/log(1/x)<2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    log(1/2)    
    -------- < 2
        /1\     
     log|-|     
        \x/     
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (\frac{1}{x} \right )}} < 2$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (\frac{1}{x} \right )}} < 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (\frac{1}{x} \right )}} = 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (\frac{1}{x} \right )}} = 2$$
    преобразуем
    $$-2 - \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{x} \right )}} = 0$$
    $$-2 + \frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (\frac{1}{x} \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$-2 + \frac{1}{w} \log{\left (\frac{1}{2} \right )} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = 1

    b1 = -1/2

    a2 = 1

    b2 = w/log(2)

    зн. получим ур-ние
    $$\frac{w}{\log{\left (2 \right )}} = - \frac{1}{2}$$
    $$\frac{w}{\log{\left (2 \right )}} = - \frac{1}{2}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    w/log2 = -1/2

    Разделим обе части ур-ния на 1/log(2)
    w = -1/2 / (1/log(2))

    Получим ответ: w = -log(2)/2
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (\frac{1}{x} \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \sqrt{2}$$
    $$x_{1} = \sqrt{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \sqrt{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \sqrt{2}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \sqrt{2}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (\frac{1}{x} \right )}} < 2$$
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (\frac{1}{- \frac{1}{10} + \sqrt{2}} \right )}} < 2$$
         -log(2)         
    -----------------    
       /     1      \    
    log|------------| < 2
       |  1      ___|    
       |- -- + \/ 2 |    
       \  10        /    

    но
         -log(2)         
    -----------------    
       /     1      \    
    log|------------| > 2
       |  1      ___|    
       |- -- + \/ 2 |    
       \  10        /    

    Тогда
    $$x < \sqrt{2}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > \sqrt{2}$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                      /  ___            \\
    Or\And(0 < x, x < 1), And\\/ 2  < x, x < oo//
    $$\left(0 < x \wedge x < 1\right) \vee \left(\sqrt{2} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                ___     
    (0, 1) U (\/ 2 , oo)
    $$x \in \left(0, 1\right) \cup \left(\sqrt{2}, \infty\right)$$