|x-1|<=2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: |x-1|<=2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    |x - 1| <= 2
    $$\left|{x - 1}\right| \leq 2$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left|{x - 1}\right| \leq 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{x - 1}\right| = 2$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x - 1 \geq 0$$
    или
    $$1 \leq x \wedge x < \infty$$
    получаем ур-ние
    $$x - 1 - 2 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x - 3 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = 3$$

    2.
    $$x - 1 < 0$$
    или
    $$-\infty < x \wedge x < 1$$
    получаем ур-ние
    $$- x + 1 - 2 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x - 1 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{2} = -1$$


    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{x - 1}\right| \leq 2$$
    $$\left|{- \frac{11}{10} - 1}\right| \leq 2$$
    21     
    -- <= 2
    10     

    но
    21     
    -- >= 2
    10     

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -1 \wedge x \leq 3$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(-1 <= x, x <= 3)
    $$-1 \leq x \wedge x \leq 3$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    [-1, 3]
    $$x \in \left[-1, 3\right]$$