(4^(sqrt(x-1))-5*2^(sqrt(x-1))+4)*1/((log(7-x)*1/log(2))^2)>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (4^(sqrt(x-1))-5*2^(sqrt(x-1))+4)*1/((log(7-x)*1/log(2))^2)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       _______        _______         
     \/ x - 1       \/ x - 1          
    4          - 5*2          + 4     
    ----------------------------- >= 0
                        2             
            /log(7 - x)\              
            |----------|              
            \  log(2)  /              
    $$\frac{- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4}{\left(\frac{\log{\left (- x + 7 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)^{2}} \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4}{\left(\frac{\log{\left (- x + 7 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)^{2}} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4}{\left(\frac{\log{\left (- x + 7 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)^{2}} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4}{\left(\frac{\log{\left (- x + 7 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)^{2}} = 0$$
    преобразуем
    $$\frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}} \left(- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4\right) = 0$$
    $$\frac{- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4}{\left(\frac{\log{\left (- x + 7 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)^{2}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (2 \right )}$$
    Раскроем выражение в уравнении
    $$\frac{w^{2} \left(- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4\right)}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}} = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$- \frac{5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} w^{2}}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}} + \frac{4^{\sqrt{x - 1}} w^{2}}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}} + \frac{4 w^{2}}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}} = 0$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = - \frac{5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}}}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}} + \frac{4^{\sqrt{x - 1}}}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}} + \frac{4}{\log^{2}{\left (- x + 7 \right )}}$$
    $$b = 0$$
    $$c = 0$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (4/log(7 - x)^2 + 4^(sqrt(-1 + x))/log(7 - x)^2 - 5*2^(sqrt(-1 + x))/log(7 - x)^2) * (0) = 0

    Т.к. D = 0, то корень всего один.
    w = -b/2a = -0/2/(4/log(7 - x)^2 + 4^(sqrt(-1 + x))/log(7 - x)^2 - 5*2^(sqrt(-1 + x))/log(7 - x)^2)

    $$w_{1} = 0$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (2 \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -81.1691538209 - 1.51097840814 \cdot 10^{-14} i$$
    $$x_{3} = -81.1691538209 + 1.51097840815 \cdot 10^{-14} i$$
    $$x_{4} = -81.1691538209 + 1.51097840814 \cdot 10^{-14} i$$
    $$x_{5} = -81.1691538209 - 1.51097840811 \cdot 10^{-14} i$$
    $$x_{6} = -81.1691538209 - 1.51097840815 \cdot 10^{-14} i$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = 5$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$4.9$$
    =
    $$4.9$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{- 5 \cdot 2^{\sqrt{x - 1}} + 4^{\sqrt{x - 1}} + 4}{\left(\frac{\log{\left (- x + 7 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)^{2}} \geq 0$$
       _________        _________         
     \/ 4.9 - 1       \/ 4.9 - 1          
    4            - 5*2            + 4     
    --------------------------------- >= 0
                             1            
            /              2\             
            |/log(7 - 4.9)\ |             
            ||------------| |             
            ||     1      | |             
            \\  log (2)   / /             

                          2        
    -0.368166044306462*log (2) >= 0
         

    но
                          2       
    -0.368166044306462*log (2) < 0
        

    Тогда
    $$x \leq 5$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq 5$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике