(x^2-3*x-2)*(x^2-3*x+1)<10 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x^2-3*x-2)*(x^2-3*x+1)<10 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    / 2          \ / 2          \     
    \x  - 3*x - 2/*\x  - 3*x + 1/ < 10
    $$\left(x^{2} - 3 x - 2\right) \left(x^{2} - 3 x + 1\right) < 10$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x^{2} - 3 x - 2\right) \left(x^{2} - 3 x + 1\right) < 10$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x^{2} - 3 x - 2\right) \left(x^{2} - 3 x + 1\right) = 10$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x^{2} - 3 x - 2\right) \left(x^{2} - 3 x + 1\right) = 10$$
    преобразуем:
    Вынесем общий множитель за скобки
    $$\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 3\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 4 = 0$$
    $$x + 1 = 0$$
    $$x^{2} - 3 x + 3 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 4 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 4$$
    Получим ответ: x1 = 4
    2.
    $$x + 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -1$$
    Получим ответ: x2 = -1
    3.
    $$x^{2} - 3 x + 3 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -3$$
    $$c = 3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-3)^2 - 4 * (1) * (3) = -3

    Т.к. D < 0, то уравнение
    не имеет вещественных корней,
    но комплексные корни имеются.
    x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = -1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 4$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x^{2} - 3 x - 2\right) \left(x^{2} - 3 x + 1\right) < 10$$
    /      2              \ /      2              \     
    |/-11 \    3*(-11)    | |/-11 \    3*(-11)    |     
    ||----|  - ------- - 2|*||----|  - ------- + 1| < 10
    \\ 10 /       10      / \\ 10 /       10      /     

    138301     
    ------ < 10
    10000      

    но
    138301     
    ------ > 10
    10000      

    Тогда
    $$x < -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -1 \wedge x < 4$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(-1 < x, x < 4)
    $$-1 < x \wedge x < 4$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-1, 4)
    $$x \in \left(-1, 4\right)$$