2^x+2^(-x)-3<0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2^x+2^(-x)-3<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     x    -x        
    2  + 2   - 3 < 0
    $$2^{x} + 2^{- x} - 3 < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2^{x} + 2^{- x} - 3 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2^{x} + 2^{- x} - 3 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$2^{x} + 2^{- x} - 3 = 0$$
    или
    $$2^{x} + 2^{- x} - 3 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
    получим
    $$v - 3 + \frac{1}{v} = 0$$
    или
    $$v - 3 + \frac{1}{v} = 0$$
    делаем обратную замену
    $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
    или
    $$x = - \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{1} = -1 + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{2} = -1 + \frac{\log{\left (\sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{1} = -1 + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{2} = -1 + \frac{\log{\left (\sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1 + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{2} = -1 + \frac{\log{\left (\sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
            /      ___\     
         log\3 - \/ 5 /   1 
    -1 + -------------- - --
               1          10
            log (2)         

    =
    $$- \frac{11}{10} + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    подставляем в выражение
    $$2^{x} + 2^{- x} - 3 < 0$$
             /      ___\          /        /      ___\     \        
          log\3 - \/ 5 /   1      |     log\3 - \/ 5 /   1 |        
     -1 + -------------- - --    -|-1 + -------------- - --|        
                1          10     |           1          10|        
             log (2)              \        log (2)         /        
    2                         + 2                            - 3 < 0

                    /      ___\            /      ___\    
            11   log\3 - \/ 5 /    11   log\3 - \/ 5 /    
          - -- + --------------    -- - -------------- < 0
            10       log(2)        10       log(2)        
    -3 + 2                      + 2                       

    но
                    /      ___\            /      ___\    
            11   log\3 - \/ 5 /    11   log\3 - \/ 5 /    
          - -- + --------------    -- - -------------- > 0
            10       log(2)        10       log(2)        
    -3 + 2                      + 2                       

    Тогда
    $$x < -1 + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -1 + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \wedge x < -1 + \frac{\log{\left (\sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /            /      ___\          /      ___\    \
       |         log\3 + \/ 5 /       log\3 - \/ 5 /    |
    And|x < -1 + --------------, -1 + -------------- < x|
       \             log(2)               log(2)        /
    $$x < -1 + \frac{\log{\left (\sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \wedge -1 + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             /      ___\          /      ___\ 
          log\3 - \/ 5 /       log\3 + \/ 5 / 
    (-1 + --------------, -1 + --------------)
              log(2)               log(2)     
    $$x \in \left(-1 + \frac{\log{\left (- \sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}, -1 + \frac{\log{\left (\sqrt{5} + 3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)$$