1/(x-1)-4*1/(x-2)+4*1/(x-3)-1/(x-4)<1/30 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 1/(x-1)-4*1/(x-2)+4*1/(x-3)-1/(x-4)<1/30 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1       4       4       1         
    ----- - ----- + ----- - ----- < 1/30
    x - 1   x - 2   x - 3   x - 4       
    $$\frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{1}{x - 4} < \frac{1}{30}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{1}{x - 4} < \frac{1}{30}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{30}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 6$$
    $$x_{4} = 7$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 6$$
    $$x_{4} = 7$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 6$$
    $$x_{4} = 7$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{1}{x - 4} < \frac{1}{30}$$
       1            4             4           1           
    -------- - ----------- + ----------- - -------- < 1/30
      21                 1             1     21           
    - -- - 1   /  21    \    /  21    \    - -- - 4       
      10       |- -- - 2|    |- -- - 3|      10           
               \  10    /    \  10    /                   

     129100       
    ------- < 1/30
    3954081       

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -2$$
     _____           _____           _____          
          \         /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -2$$
    $$x > -1 \wedge x < 6$$
    $$x > 7$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < -2), And(-1 < x, x < 1), And(2 < x, x < 3), And(4 < x, x < 6), And(7 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(-1 < x \wedge x < 1\right) \vee \left(2 < x \wedge x < 3\right) \vee \left(4 < x \wedge x < 6\right) \vee \left(7 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, -2) U (-1, 1) U (2, 3) U (4, 6) U (7, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(-1, 1\right) \cup \left(2, 3\right) \cup \left(4, 6\right) \cup \left(7, \infty\right)$$