x^2+9*x+a>=3 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: x^2+9*x+a>=3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2               
    x  + 9*x + a >= 3
    $$a + x^{2} + 9 x \geq 3$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$a + x^{2} + 9 x \geq 3$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$a + x^{2} + 9 x = 3$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$a + x^{2} + 9 x = 3$$
    в
    $$a + x^{2} + 9 x - 3 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 9$$
    $$c = a - 3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (9)^2 - 4 * (1) * (-3 + a) = 93 - 4*a

    Уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
            __________     
      9   \/ 93 - 4*a    1 
    - - + ------------ - --
      2        2         10

    =
    $$\frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{23}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$a + x^{2} + 9 x \geq 3$$
                             2                                       
    /        __________     \      /        __________     \         
    |  9   \/ 93 - 4*a    1 |      |  9   \/ 93 - 4*a    1 |         
    |- - + ------------ - --|  + 9*|- - + ------------ - --| + a >= 3
    \  2        2         10/      \  2        2         10/         

                                     2                      
                /         __________\        __________     
      207       |  23   \/ 93 - 4*a |    9*\/ 93 - 4*a  >= 3
    - --- + a + |- -- + ------------|  + --------------     
       5        \  5         2      /          2            

    Тогда
    $$x \leq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 a + 93} - \frac{9}{2}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2