4^(3*x^2-x)-8<2*8^(x^2-x*1/3) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 4^(3*x^2-x)-8<2*8^(x^2-x*1/3) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                        2   x
        2              x  - -
     3*x  - x               3
    4         - 8 < 2*8      
    $$4^{3 x^{2} - x} - 8 < 2 \cdot 8^{x^{2} - \frac{x}{3}}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$4^{3 x^{2} - x} - 8 < 2 \cdot 8^{x^{2} - \frac{x}{3}}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4^{3 x^{2} - x} - 8 = 2 \cdot 8^{x^{2} - \frac{x}{3}}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{\log{\left (8192 \right )} - 12 i \pi}}{6 \sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
    $$x_{4} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{\log{\left (8192 \right )} - 12 i \pi}}{6 \sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
    $$x_{2} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
    $$x_{2} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{23}{30}$$
    =
    $$- \frac{23}{30}$$
    подставляем в выражение
    $$4^{3 x^{2} - x} - 8 < 2 \cdot 8^{x^{2} - \frac{x}{3}}$$
             2                       2       
       /-23 \    -23           /-23 \    -23 
     3*|----|  - ----          |----|  - ----
       \ 30 /     30           \ 30 /    30*3
    4                 - 8 < 2*8              

                        53
             3/50      ---
    -8 + 32*2     <    100
       8*2   
                    

    но
                        53
             3/50      ---
    -8 + 32*2     >    100
       8*2   
                    

    Тогда
    $$x < - \frac{2}{3}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{2}{3} \wedge x < 1$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(-2/3 < x, x < 1)
    $$- \frac{2}{3} < x \wedge x < 1$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-2/3, 1)
    $$x \in \left(- \frac{2}{3}, 1\right)$$