(x+3)^3*(x-6)*(x+2)^4<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+3)^3*(x-6)*(x+2)^4<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
           3                4    
    (x + 3) *(x - 6)*(x + 2)  < 0
    $$\left(x - 6\right) \left(x + 3\right)^{3} \left(x + 2\right)^{4} < 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x - 6\right) \left(x + 3\right)^{3} \left(x + 2\right)^{4} < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x - 6\right) \left(x + 3\right)^{3} \left(x + 2\right)^{4} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x - 6\right) \left(x + 3\right)^{3} \left(x + 2\right)^{4} = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 6 = 0$$
    $$x + 2 = 0$$
    $$x + 3 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 6 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 6$$
    Получим ответ: x1 = 6
    2.
    $$x + 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -2$$
    Получим ответ: x2 = -2
    3.
    $$x + 3 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -3$$
    Получим ответ: x3 = -3
    $$x_{1} = 6$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{1} = 6$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{3} = -3$$
    Данные корни
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{1} = 6$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{31}{10}$$
    =
    $$- \frac{31}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x - 6\right) \left(x + 3\right)^{3} \left(x + 2\right)^{4} < 0$$
    $$\left(-6 + - \frac{31}{10}\right) \left(- \frac{31}{10} + 3\right)^{3} \left(- \frac{31}{10} + 2\right)^{4} < 0$$
     1332331     
    --------- < 0
    100000000    

    но
     1332331     
    --------- > 0
    100000000    

    Тогда
    $$x < -3$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -3 \wedge x < -2$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x3      x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -3 \wedge x < -2$$
    $$x > 6$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-3 < x, x < -2), And(-2 < x, x < 6))
    $$\left(-3 < x \wedge x < -2\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < 6\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-3, -2) U (-2, 6)
    $$x \in \left(-3, -2\right) \cup \left(-2, 6\right)$$