1/(2-x)<(x^2-5)*1/(x-2) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 1/(2-x)<(x^2-5)*1/(x-2) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             2    
      1     x  - 5
    ----- < ------
    2 - x   x - 2 
    $$\frac{1}{- x + 2} < \frac{x^{2} - 5}{x - 2}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{- x + 2} < \frac{x^{2} - 5}{x - 2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{- x + 2} = \frac{x^{2} - 5}{x - 2}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{1} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{- x + 2} < \frac{x^{2} - 5}{x - 2}$$
                     2    
               /-21 \     
               |----|  - 5
       1       \ 10 /     
    -------- < -----------
        -21              1
    2 - ----   /  21    \ 
         10    |- -- - 2| 
               \  10    / 

    10    59
    -- < ---
    41   410

    но
    10    59
    -- > ---
    41   410

    Тогда
    $$x < -2$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > -2$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-2 < x, x < 2), And(2 < x, x < oo))
    $$\left(-2 < x \wedge x < 2\right) \vee \left(2 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-2, 2) U (2, oo)
    $$x \in \left(-2, 2\right) \cup \left(2, \infty\right)$$