4*4^x<7*2^x+2 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 4*4^x<7*2^x+2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       x      x    
    4*4  < 7*2  + 2
    $$4 \cdot 4^{x} < 7 \cdot 2^{x} + 2$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$4 \cdot 4^{x} < 7 \cdot 2^{x} + 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4 \cdot 4^{x} = 7 \cdot 2^{x} + 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$4 \cdot 4^{x} = 7 \cdot 2^{x} + 2$$
    или
    $$4 \cdot 4^{x} + - 7 \cdot 2^{x} - 2 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 2^{x}$$
    получим
    $$4 v^{2} - 7 v - 2 = 0$$
    или
    $$4 v^{2} - 7 v - 2 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 4$$
    $$b = -7$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-7)^2 - 4 * (4) * (-2) = 81

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = 2$$
    $$v_{2} = - \frac{1}{4}$$
    делаем обратную замену
    $$2^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{7}{20}$$
    =
    $$- \frac{7}{20}$$
    подставляем в выражение
    $$4 \cdot 4^{x} < 7 \cdot 2^{x} + 2$$
    $$\frac{4}{4^{\frac{7}{20}}} < 2 + \frac{7}{2^{\frac{7}{20}}}$$
                     13
                     --
       3/10          20
    2*2     <     7*2  
       2 + -----
                    2  
              

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{1}{4}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{1}{4}$$
    $$x > 2$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(-oo < x, x < 1)
    $$-\infty < x \wedge x < 1$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, 1)
    $$x \in \left(-\infty, 1\right)$$