3+x>3*sqrt(-x^2+1) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 3+x>3*sqrt(-x^2+1) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
                 __________
                /    2     
    3 + x > 3*\/  - x  + 1 
    $$x + 3 > 3 \sqrt{- x^{2} + 1}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$x + 3 > 3 \sqrt{- x^{2} + 1}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x + 3 = 3 \sqrt{- x^{2} + 1}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$x + 3 = 3 \sqrt{- x^{2} + 1}$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$- 3 \sqrt{- x^{2} + 1} = - x - 3$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$- 9 x^{2} + 9 = \left(- x - 3\right)^{2}$$
    $$- 9 x^{2} + 9 = x^{2} + 6 x + 9$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$- 10 x^{2} - 6 x = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -10$$
    $$b = -6$$
    $$c = 0$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-6)^2 - 4 * (-10) * (0) = 36

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
    $$x_{2} = 0$$

    Т.к.
    $$\sqrt{- x^{2} + 1} = \frac{x}{3} + 1$$
    и
    $$\sqrt{- x^{2} + 1} \geq 0$$
    то
    $$\frac{x}{3} + 1 \geq 0$$
    или
    $$-3 \leq x$$
    $$x < \infty$$
    $$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
    $$x_{2} = 0$$
    $$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
    $$x_{2} = 0$$
    $$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
    $$x_{2} = 0$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
    $$x_{2} = 0$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{7}{10}$$
    =
    $$- \frac{7}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$x + 3 > 3 \sqrt{- x^{2} + 1}$$
                    ______________
                   /        2     
    3 - 7/10 > 3*\/  - -7/10  + 1 

             ____
    23   3*\/ 51 
    -- > --------
    10      10   
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{3}{5}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{3}{5}$$
    $$x > 0$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(x <= 1, 0 < x)
    $$x \leq 1 \wedge 0 < x$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (0, 1]
    $$x \in \left(0, 1\right]$$