sin(x)<-1 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sin(x)<-1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    sin(x) < -1
    $$\sin{\left (x \right )} < -1$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (x \right )} < -1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (x \right )} = -1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = -1$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    $$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi            1 
    - -- + 2*pi*n - --
      2             10

    =
    $$2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (x \right )} < -1$$
       /  pi            1 \     
    sin|- -- + 2*pi*n - --| < -1
       \  2             10/     

    -cos(-1/10 + 2*pi*n) < -1

    но
    -cos(-1/10 + 2*pi*n) > -1

    Тогда
    $$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 2 \pi n - \frac{\pi}{2} \wedge x < 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    Данное неравенство не имеет решений