5^(x+1)-5^x<500 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 5^(x+1)-5^x<500 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     x + 1    x      
    5      - 5  < 500
    $$- 5^{x} + 5^{x + 1} < 500$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$- 5^{x} + 5^{x + 1} < 500$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- 5^{x} + 5^{x + 1} = 500$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$- 5^{x} + 5^{x + 1} = 500$$
    или
    $$- 5^{x} + 5^{x + 1} - 500 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 5^{x}$$
    получим
    $$- v + 5^{1} v^{1} - 500 = 0$$
    или
    $$4 v - 500 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без v)
    из левой части в правую, получим:
    $$4 v = 500$$
    Разделим обе части ур-ния на 4
    v = 500 / (4)

    делаем обратную замену
    $$5^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
    $$x_{1} = 125$$
    $$x_{1} = 125$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 125$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{1249}{10}$$
    =
    $$\frac{1249}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- 5^{x} + 5^{x + 1} < 500$$
     1249        1249      
     ---- + 1    ----      
      10          10       
    5         - 5     < 500

                                                                                              9/10      
    1880790961315660012749978459555593084509864890835340034414002730045467615127563476562500*5     < 500
          

    но
                                                                                              9/10      
    1880790961315660012749978459555593084509864890835340034414002730045467615127563476562500*5     > 500
          

    Тогда
    $$x < 125$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > 125$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(-oo < x, x < 3)
    $$-\infty < x \wedge x < 3$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, 3)
    $$x \in \left(-\infty, 3\right)$$