2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

             ___     
2*cos(x) - \/ 2  >= 0

$$2 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём -sqrt(2) в правую часть ур-ния

с изменением знака при -sqrt(2)

Получим:
$$2 \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2}$$

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \geq 0$$
$$2 \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} - \sqrt{2} \geq 0$$

    ___         n    /1    pi\     
- \/ 2  + 2*(-1) *sin|-- + --| >= 0
                     \10   4 /     

но

    ___         n    /1    pi\    
- \/ 2  + 2*(-1) *sin|-- + --| < 0
                     \10   4 /    

Тогда
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /7*pi               \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x < 2*pi||
  \   \             4 /     \ 4                 //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{4} \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     7*pi       
[0, --] U [----, 2*pi)
    4       4         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)$$

График