2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (неравенство)

             ___     
2*cos(x) - \/ 2  >= 0

$$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} \geq 0$$

Дано неравенство:
$$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём -sqrt(2) в правую часть ур-ния

с изменением знака при -sqrt(2)

Получим:
$$2 \cos{\left (x \right )} = \sqrt{2}$$

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left (x \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} \geq 0$$

     /pi          1 \     ___     
2*cos|-- + pi*n - --| - \/ 2  >= 0
     \4           10/             

    ___        /  1    pi       \     
- \/ 2  + 2*cos|- -- + -- + pi*n| >= 0
               \  10   4        /     

но

    ___        /  1    pi       \    
- \/ 2  + 2*cos|- -- + -- + pi*n| < 0
               \  10   4        /    

Тогда
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

  /   /     pi         \      7*pi\
Or|And|x <= --, -oo < x|, x = ----|
  \   \     4          /       4  /

$$\left(x \leq \frac{\pi}{4} \wedge -\infty < x\right) \vee x = \frac{7 \pi}{4}$$

      pi     7*pi 
(-oo, --] U {----}
      4       4   

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left\{\frac{7 \pi}{4}\right\}$$