2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
                 ___     
    2*cos(x) - \/ 2  >= 0
    2cos(x)202 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \geq 0
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    2cos(x)202 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \geq 0
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    2cos(x)2=02 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} = 0
    Решаем:
    Дано уравнение
    2cos(x)2=02 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} = 0
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Перенесём -sqrt(2) в правую часть ур-ния

    с изменением знака при -sqrt(2)

    Получим:
    2cos(x)=22 \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2}
    Разделим обе части ур-ния на 2

    Ур-ние превратится в
    cos(x)=22\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
    Это ур-ние преобразуется в
    x=πn+acos(22)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
    x=πnπ+acos(22)x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
    Или
    x=πn+π4x = \pi n + \frac{\pi}{4}
    x=πn3π4x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
    , где n - любое целое число
    x1=πn+π4x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}
    x2=πn3π4x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
    x1=πn+π4x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}
    x2=πn3π4x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
    Данные корни
    x1=πn+π4x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}
    x2=πn3π4x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0x1x_{0} \leq x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    (πn+π4)110\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}
    =
    πn110+π4\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}
    подставляем в выражение
    2cos(x)202 \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \geq 0
    2cos(πn110+π4)202 \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} - \sqrt{2} \geq 0
        ___         n    /1    pi\     
    - \/ 2  + 2*(-1) *sin|-- + --| >= 0
                         \10   4 /     

    но
        ___         n    /1    pi\    
    - \/ 2  + 2*(-1) *sin|-- + --| < 0
                         \10   4 /    

    Тогда
    xπn+π4x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    xπn+π4xπn3π4x \geq \pi n + \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \pi n - \frac{3 \pi}{4}
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x_1      x_2
    Решение неравенства на графике
    05-15-10-510155-5
    Быстрый ответ [src]
      /   /             pi\     /7*pi               \\
    Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x < 2*pi||
      \   \             4 /     \ 4                 //
    (0xxπ4)(7π4xx<2π)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{4} \leq x \wedge x < 2 \pi\right)
    Быстрый ответ 2 [src]
        pi     7*pi       
    [0, --] U [----, 2*pi)
        4       4         
    x in [0,π4][7π4,2π)x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)
    График
    2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/d/f8/7e0bdeb62806f33a1bfa9d2b5875b.png