2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)-sqrt(2)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
                 ___     
    2*cos(x) - \/ 2  >= 0
    $$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} = 0$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Перенесём -sqrt(2) в правую часть ур-ния

    с изменением знака при -sqrt(2)

    Получим:
    $$2 \cos{\left (x \right )} = \sqrt{2}$$
    Разделим обе части ур-ния на 2

    Ур-ние превратится в
    $$\cos{\left (x \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
    $$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
    Или
    $$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    $$x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \cos{\left (x \right )} - \sqrt{2} \geq 0$$
         /pi          1 \     ___     
    2*cos|-- + pi*n - --| - \/ 2  >= 0
         \4           10/             

        ___        /  1    pi       \     
    - \/ 2  + 2*cos|- -- + -- + pi*n| >= 0
                   \  10   4        /     

    но
        ___        /  1    pi       \    
    - \/ 2  + 2*cos|- -- + -- + pi*n| < 0
                   \  10   4        /    

    Тогда
    $$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq \pi n + \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /     pi         \      7*pi\
    Or|And|x <= --, -oo < x|, x = ----|
      \   \     4          /       4  /
    $$\left(x \leq \frac{\pi}{4} \wedge -\infty < x\right) \vee x = \frac{7 \pi}{4}$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
          pi     7*pi 
    (-oo, --] U {----}
          4       4   
    $$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left\{\frac{7 \pi}{4}\right\}$$