5^(2-4*x)<7*x/5-14 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 5^(2-4*x)<7*x/5-14 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2 - 4*x   7*x     
    5        < --- - 14
                5      
    $$5^{- 4 x + 2} < \frac{7 x}{5} - 14$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$5^{- 4 x + 2} < \frac{7 x}{5} - 14$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$5^{- 4 x + 2} = \frac{7 x}{5} - 14$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right)$$
    $$x_{1} = \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right)$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right)$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right)$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right)$$
    подставляем в выражение
    $$5^{- 4 x + 2} < \frac{7 x}{5} - 14$$
           /        /   / 4/509317032992839813232421875\\                                         \     /        /   / 4/509317032992839813232421875\\                                         \     
           |LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)   1 |     |LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)   1 |     
     2 - 4*|--------------------------------------------------------------------------------- - --|   7*|--------------------------------------------------------------------------------- - --|     
           |                                         1                                          10|     |                                         1                                          10|     
           \                                    4*log (5)                                         /     \                                    4*log (5)                                         /     
    5                                                                                               < ------------------------------------------------------------------------------------------ - 14
                                                                                                                                                   1                                                 
                                                                                                                                                  5                                                  

                  /   / 4/509317032992839813232421875\\                                                 /        /   / 4/509317032992839813232421875\\                                    \
     12   LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)     707   7*\LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)/
     -- - --------------------------------------------------------------------------------- < - --- + -------------------------------------------------------------------------------------
     5                                          log(5)                                           50                                         20*log(5)                                      
    5                                                                                         

    но
                  /   / 4/509317032992839813232421875\\                                                 /        /   / 4/509317032992839813232421875\\                                    \
     12   LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)     707   7*\LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)/
     -- - --------------------------------------------------------------------------------- > - --- + -------------------------------------------------------------------------------------
     5                                          log(5)                                           50                                         20*log(5)                                      
    5                                                                                         

    Тогда
    $$x < \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right)$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right)$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /                /   / 4/509317032992839813232421875\\                                        \
       |        LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)    |
    And|x < oo, --------------------------------------------------------------------------------- < x|
       \                                             4*log(5)                                        /
    $$x < \infty \wedge \frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right) < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             /   / 4/509317032992839813232421875\\                                         
     LambertW\log\5                             // + log(9094947017729282379150390625)     
    (---------------------------------------------------------------------------------, oo)
                                          4*log(5)                                         
    $$x \in \left(\frac{1}{4 \log{\left (5 \right )}} \left(\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (5^{\frac{4}{509317032992839813232421875}} \right )} \right )} + \log{\left (9094947017729282379150390625 \right )}\right), \infty\right)$$