2*cos(x)+sqrt(2)>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)+sqrt(2)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                 ___     
    2*cos(x) + \/ 2  >= 0
    $$2 \cos{\left (x \right )} + \sqrt{2} \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \cos{\left (x \right )} + \sqrt{2} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cos{\left (x \right )} + \sqrt{2} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2 \cos{\left (x \right )} + \sqrt{2} = 0$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Перенесём sqrt(2) в правую часть ур-ния

    с изменением знака при sqrt(2)

    Получим:
    $$2 \cos{\left (x \right )} = - \sqrt{2}$$
    Разделим обе части ур-ния на 2

    Ур-ние превратится в
    $$\cos{\left (x \right )} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
    $$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
    Или
    $$x = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
    $$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n + \frac{3 \pi}{4} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \cos{\left (x \right )} + \sqrt{2} \geq 0$$
    $$2 \cos{\left (\pi n + \frac{3 \pi}{4} + - \frac{1}{10} \right )} + \sqrt{2} \geq 0$$
      ___        /  1    pi       \     
    \/ 2  - 2*sin|- -- + -- + pi*n| >= 0
                 \  10   4        /     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
    $$x \geq \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /     3*pi         \     /5*pi             \\
    Or|And|x <= ----, -oo < x|, And|---- <= x, x < oo||
      \   \      4           /     \ 4               //
    $$\left(x \leq \frac{3 \pi}{4} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{4} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          3*pi     5*pi     
    (-oo, ----] U [----, oo)
           4        4       
    $$x \in \left(-\infty, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$