7^(2*x+1)+8*7^x+1<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 7^(2*x+1)+8*7^x+1<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     2*x + 1      x        
    7        + 8*7  + 1 < 0
    $$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 < 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 = 0$$
    или
    $$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 7^{x}$$
    получим
    $$7^{1} v^{2} + 8 v + 1 = 0$$
    или
    $$7 v^{2} + 8 v + 1 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 7$$
    $$b = 8$$
    $$c = 1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (8)^2 - 4 * (7) * (1) = 36

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = - \frac{1}{7}$$
    $$v_{2} = -1$$
    делаем обратную замену
    $$7^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (7 \right )}}$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{7}$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{7}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{7}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 < 0$$
    $$1 + 7^{\frac{-22}{10} 1 + 1} + \frac{8}{7^{\frac{11}{10}}} < 0$$
         4/5      9/10    
        7      8*7        
    1 + ---- + ------- < 0
         49       49      
        

    но
         4/5      9/10    
        7      8*7        
    1 + ---- + ------- > 0
         49       49      
        

    Тогда
    $$x < -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -1 \wedge x < - \frac{1}{7}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Данное неравенство не имеет решений