5^(x+1)+2*5^(x-1)>=27 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 5^(x+1)+2*5^(x-1)>=27 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     x + 1      x - 1      
    5      + 2*5      >= 27
    $$2 \cdot 5^{x - 1} + 5^{x + 1} \geq 27$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \cdot 5^{x - 1} + 5^{x + 1} \geq 27$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cdot 5^{x - 1} + 5^{x + 1} = 27$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$2 \cdot 5^{x - 1} + 5^{x + 1} = 27$$
    или
    $$2 \cdot 5^{x - 1} + 5^{x + 1} - 27 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 5^{x}$$
    получим
    $$2 \frac{v^{1}}{5} + 5^{1} v^{1} - 27 = 0$$
    или
    $$\frac{27 v}{5} - 27 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без v)
    из левой части в правую, получим:
    $$\frac{27 v}{5} = 27$$
    Разделим обе части ур-ния на 27/5
    v = 27 / (27/5)

    делаем обратную замену
    $$5^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{1} = 5$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{49}{10}$$
    =
    $$\frac{49}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \cdot 5^{x - 1} + 5^{x + 1} \geq 27$$
    $$2 \cdot 5^{-1 + \frac{49}{10}} + 5^{1 + \frac{49}{10}} \geq 27$$
          9/10      
    3375*5     >= 27
          

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq 5$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(1 <= x, x < oo)
    $$1 \leq x \wedge x < \infty$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    [1, oo)
    $$x \in \left[1, \infty\right)$$