m*x^2+(2*m+1)*x+m+2>o (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: m*x^2+(2*m+1)*x+m+2>o (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       2                          
    m*x  + (2*m + 1)*x + m + 2 > o
    $$m + m x^{2} + x \left(2 m + 1\right) + 2 > o$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$m + m x^{2} + x \left(2 m + 1\right) + 2 > o$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$m + m x^{2} + x \left(2 m + 1\right) + 2 = o$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$m + m x^{2} + x \left(2 m + 1\right) + 2 = o$$
    в
    $$- o + m + m x^{2} + x \left(2 m + 1\right) + 2 = 0$$
    Раскроем выражение в уравнении
    $$- o + m + m x^{2} + x \left(2 m + 1\right) + 2 = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$m x^{2} + 2 m x + m - o + x + 2 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = m$$
    $$b = 2 m + 1$$
    $$c = m - o + 2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1 + 2*m)^2 - 4 * (m) * (2 + m - o) = (1 + 2*m)^2 - 4*m*(2 + m - o)

    Уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m + \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m - \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m + \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m - \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m + \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m - \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m + \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2 m} \left(- 2 m - \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
            ______________________________           
           /          2                              
    -1 + \/  (1 + 2*m)  - 4*m*(2 + m - o)  - 2*m   1 
    -------------------------------------------- - --
                           1                       10
                        2*m                          

    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 m} \left(- 2 m + \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    подставляем в выражение
    $$m + m x^{2} + x \left(2 m + 1\right) + 2 > o$$
                                                         2                                                                            
      /        ______________________________           \              /        ______________________________           \            
      |       /          2                              |              |       /          2                              |            
      |-1 + \/  (1 + 2*m)  - 4*m*(2 + m - o)  - 2*m   1 |              |-1 + \/  (1 + 2*m)  - 4*m*(2 + m - o)  - 2*m   1 |            
    m*|-------------------------------------------- - --|  + (2*m + 1)*|-------------------------------------------- - --| + m + 2 > o
      |                       1                       10|              |                       1                       10|            
      \                    2*m                          /              \                    2*m                          /            

                                                                   2                                                                      
              /               ______________________________      \              /               ______________________________      \    
              |              /          2                         |              |              /          2                         |    
              |  1    -1 + \/  (1 + 2*m)  - 4*m*(2 + m - o)  - 2*m|              |  1    -1 + \/  (1 + 2*m)  - 4*m*(2 + m - o)  - 2*m| > o
    2 + m + m*|- -- + --------------------------------------------|  + (1 + 2*m)*|- -- + --------------------------------------------|    
              \  10                       2*m                     /              \  10                       2*m                     /    
        

    Тогда
    $$x < \frac{1}{2 m} \left(- 2 m + \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > \frac{1}{2 m} \left(- 2 m + \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right) \wedge x < \frac{1}{2 m} \left(- 2 m - \sqrt{- 4 m \left(m - o + 2\right) + \left(2 m + 1\right)^{2}} - 1\right)$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2