2^x+2^|x|>=2*sqrt(2) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2^x+2^|x|>=2*sqrt(2) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     x    |x|        ___
    2  + 2    >= 2*\/ 2 
    $$2^{x} + 2^{\left|{x}\right|} \geq 2 \sqrt{2}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2^{x} + 2^{\left|{x}\right|} \geq 2 \sqrt{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2^{x} + 2^{\left|{x}\right|} = 2 \sqrt{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2^{x} + 2^{\left|{x}\right|} = 2 \sqrt{2}$$
    преобразуем
    $$2^{x} + 2^{\left|{x}\right|} - 2 \sqrt{2} = 0$$
    $$2^{x} + 2^{\left|{x}\right|} - 2 \sqrt{2} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \left|{x}\right|$$
    $$2^{w} + 2^{x} - 2 \sqrt{2} = 0$$
    или
    $$2^{w} + 2^{x} - 2 \sqrt{2} = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 1$$
    получим
    $$2^{w} + 2^{x} - 2 \sqrt{2} = 0$$
    или
    $$2^{w} + 2^{x} - 2 \sqrt{2} = 0$$
    делаем обратную замену
    $$1 = v$$
    или
    $$w = \tilde{\infty} \log{\left (v \right )}$$
    Тогда, окончательный ответ
    делаем обратную замену
    $$\left|{x}\right| = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -1.27155330316$$
    $$x_{2} = 0.5$$
    $$x_{1} = -1.27155330316$$
    $$x_{2} = 0.5$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1.27155330316$$
    $$x_{2} = 0.5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$-1.37155330316$$
    =
    $$-1.37155330316$$
    подставляем в выражение
    $$2^{x} + 2^{\left|{x}\right|} \geq 2 \sqrt{2}$$
    $$2^{-1.37155330316} + 2^{\left|{-1.37155330316}\right|} \geq 2 \sqrt{2}$$
                            ___
    2.97396494827727 >= 2*\/ 2 
                        

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq -1.27155330316$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq -1.27155330316$$
    $$x \geq 0.5$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                          /        /       ___\         \\
      |                          |     log\-1 + \/ 2 /         ||
    Or|And(1/2 <= x, x < oo), And|x <= ---------------, -oo < x||
      \                          \          log(2)             //
    $$\left(\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq \frac{\log{\left (-1 + \sqrt{2} \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \wedge -\infty < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             /       ___\             
          log\-1 + \/ 2 /             
    (-oo, ---------------] U [1/2, oo)
               log(2)                 
    $$x \in \left(-\infty, \frac{\log{\left (-1 + \sqrt{2} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$