(4-x)*(x+1)*(x-3)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (4-x)*(x+1)*(x-3)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    (4 - x)*(x + 1)*(x - 3) > 0
    $$\left(- x + 4\right) \left(x + 1\right) \left(x - 3\right) > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(- x + 4\right) \left(x + 1\right) \left(x - 3\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(- x + 4\right) \left(x + 1\right) \left(x - 3\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(- x + 4\right) \left(x + 1\right) \left(x - 3\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 3 = 0$$
    $$x + 1 = 0$$
    $$- x + 4 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 3 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 3$$
    Получим ответ: x1 = 3
    2.
    $$x + 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -1$$
    Получим ответ: x2 = -1
    3.
    $$- x + 4 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    -x = -4

    Разделим обе части ур-ния на -1
    x = -4 / (-1)

    Получим ответ: x3 = 4
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 4$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 4$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{3} = 4$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(- x + 4\right) \left(x + 1\right) \left(x - 3\right) > 0$$
    /    -11 \ /  11    \ /  11    \    
    |4 - ----|*|- -- + 1|*|- -- - 3| > 0
    \     10 / \  10    / \  10    /    

    2091    
    ---- > 0
    1000    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -1$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------ο-------ο-------ο-------
           x2      x1      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -1$$
    $$x > 3 \wedge x < 4$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -1), And(3 < x, x < 4))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -1\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 4\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -1) U (3, 4)
    $$x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(3, 4\right)$$