(x-1)*(x-3)*(x+2)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x-1)*(x-3)*(x+2)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (x - 1)*(x - 3)*(x + 2) > 0
    $$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 3 = 0$$
    $$x - 1 = 0$$
    $$x + 2 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 3 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 3$$
    Получим ответ: x1 = 3
    2.
    $$x - 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 1$$
    Получим ответ: x2 = 1
    3.
    $$x + 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -2$$
    Получим ответ: x3 = -2
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = -2$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{3} = -2$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) > 0$$
    $$\left(-3 + - \frac{21}{10}\right) \left(- \frac{21}{10} - 1\right) \left(- \frac{21}{10} + 2\right) > 0$$
    -1581     
    ------ > 0
     1000     

    Тогда
    $$x < -2$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -2 \wedge x < 1$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x3      x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -2 \wedge x < 1$$
    $$x > 3$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-2 < x, x < 1), And(3 < x, x < oo))
    $$\left(-2 < x \wedge x < 1\right) \vee \left(3 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-2, 1) U (3, oo)
    $$x \in \left(-2, 1\right) \cup \left(3, \infty\right)$$