(10-2*x-3*y)^2+(-x+5*y-8)^2<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (10-2*x-3*y)^2+(-x+5*y-8)^2<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

                2                 2     
(10 - 2*x - 3*y)  + (-x + 5*y - 8)  <= 0

$$\left(- 3 y + - 2 x + 10\right)^{2} + \left(- x + 5 y - 8\right)^{2} \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- 3 y + - 2 x + 10\right)^{2} + \left(- x + 5 y - 8\right)^{2} \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- 3 y + - 2 x + 10\right)^{2} + \left(- x + 5 y - 8\right)^{2} = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(- 3 y + - 2 x + 10\right)^{2} + \left(- x + 5 y - 8\right)^{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$5 x^{2} + 2 x y - 24 x + 34 y^{2} - 140 y + 164 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 5$$
$$b = 2 y - 24$$
$$c = 34 y^{2} - 140 y + 164$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-24 + 2*y)^2 - 4 * (5) * (164 - 140*y + 34*y^2) = -3280 + (-24 + 2*y)^2 - 680*y^2 + 2800*y

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{y}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{y}{5} - \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
$$x_{1} = - \frac{y}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{y}{5} - \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
$$x_{1} = - \frac{y}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{y}{5} - \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{y}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{y}{5} - \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

            ________________________________________     
           /                    2        2               
12   y   \/  -3280 + (-24 + 2*y)  - 680*y  + 2800*y    1 
-- - - + ------------------------------------------- - --
5    5                        10                       10

=
$$- \frac{y}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{23}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(- 3 y + - 2 x + 10\right)^{2} + \left(- x + 5 y - 8\right)^{2} \leq 0$$

                                                                          2                                                                          2     
/       /            ________________________________________     \      \    /              ________________________________________               \      
|       |           /                    2        2               |      |    |             /                    2        2                         |      
|       |12   y   \/  -3280 + (-24 + 2*y)  - 680*y  + 2800*y    1 |      |    |  12   y   \/  -3280 + (-24 + 2*y)  - 680*y  + 2800*y    1           |      
|10 - 2*|-- - - + ------------------------------------------- - --| - 3*y|  + |- -- - - + ------------------------------------------- - -- + 5*y - 8|  <= 0
\       \5    5                        10                       10/      /    \  5    5                        10                       10          /      

                                                            2                                                            2     
/           ________________________________________       \    /               ________________________________________\      
|          /                    2        2                 |    |              /                    2        2          |      
|  103   \/  -3280 + (-24 + 2*y)  - 680*y  + 2800*y    26*y|    |27   13*y   \/  -3280 + (-24 + 2*y)  - 680*y  + 2800*y |  <= 0
|- --- - ------------------------------------------- + ----|  + |-- - ---- - -------------------------------------------|      
\   10                        10                        5  /    \5     5                          5                     /      
     

Тогда
$$x \leq - \frac{y}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{y}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5} \wedge x \leq - \frac{y}{5} - \frac{1}{10} \sqrt{- 680 y^{2} + 2800 y + \left(2 y - 24\right)^{2} - 3280} + \frac{12}{5}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2