log(5+4*x-x^2)*1/log(1/2)<-3 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(5+4*x-x^2)*1/log(1/2)<-3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /           2\     
    log\5 + 4*x - x /     
    ----------------- < -3
         log(1/2)         
    $$\frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} < -3$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} < -3$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} = -3$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} = -3$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} + \log{\left (8 \right )}\right) = 0$$
    $$\frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} + 3 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (2 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} + 3 = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = -log(5 - x^2 + 4*x)

    b1 = log(2)

    a2 = 1

    b2 = -1/3

    зн. получим ур-ние
    $$\frac{1}{3} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} = \log{\left (2 \right )}$$
    $$\frac{1}{3} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} = \log{\left (2 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    log5/3+x/3+2/3+4*x/3 = log(2)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    log5/3+x/3+2/3+4*x/3 = log2

    Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
    log(5 - x^2 + 4*x)/3 = log2

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (2 \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = 3$$
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = 3$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (- x^{2} + 4 x + 5 \right )} < -3$$
       /    4*9       2\     
    log|5 + --- - 9/10 |     
       \     10        /     
    -------------------- < -3
            1                
         log (1/2)           

    -(-log(100) + log(779))      
    ------------------------ < -3
             log(2)              

    но
    -(-log(100) + log(779))      
    ------------------------ > -3
             log(2)              

    Тогда
    $$x < 1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 1 \wedge x < 3$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(1 < x, x < 3)
    $$1 < x \wedge x < 3$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (1, 3)
    $$x \in \left(1, 3\right)$$