(x+6)*(5*x^2-x)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+6)*(5*x^2-x)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
            /   2    \    
    (x + 6)*\5*x  - x/ > 0
    $$\left(x + 6\right) \left(5 x^{2} - x\right) > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x + 6\right) \left(5 x^{2} - x\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x + 6\right) \left(5 x^{2} - x\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x + 6\right) \left(5 x^{2} - x\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 6 = 0$$
    $$5 x^{2} - x = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 6 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -6$$
    Получим ответ: x1 = -6
    2.
    $$5 x^{2} - x = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 5$$
    $$b = -1$$
    $$c = 0$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-1)^2 - 4 * (5) * (0) = 1

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{2} = \frac{1}{5}$$
    $$x_{3} = 0$$
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{2} = \frac{1}{5}$$
    $$x_{3} = 0$$
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{2} = \frac{1}{5}$$
    $$x_{3} = 0$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{3} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{1}{5}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x + 6\right) \left(5 x^{2} - x\right) > 0$$
               /        2       \    
    /  61    \ |  /-61 \    -61 |    
    |- -- + 6|*|5*|----|  - ----| > 0
    \  10    / \  \ 10 /     10 /    

    -3843     
    ------ > 0
     200      

    Тогда
    $$x < -6$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -6 \wedge x < 0$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x1      x3      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -6 \wedge x < 0$$
    $$x > \frac{1}{5}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-6 < x, x < 0), And(1/5 < x, x < oo))
    $$\left(-6 < x \wedge x < 0\right) \vee \left(\frac{1}{5} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-6, 0) U (1/5, oo)
    $$x \in \left(-6, 0\right) \cup \left(\frac{1}{5}, \infty\right)$$