|x^2-7*x+12|<=6 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: |x^2-7*x+12|<=6 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\left|{x^{2} - 7 x + 12}\right| \leq 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} - 7 x + 12}\right| = 6$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x^{2} - 7 x + 12 \geq 0$$
или
$$\left(4 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 3 \wedge -\infty < x\right)$$
получаем ур-ние
$$x^{2} - 7 x + 12 - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} - 7 x + 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
2.
$$x^{2} - 7 x + 12 < 0$$
или
$$3 < x \wedge x < 4$$
получаем ур-ние
$$- x^{2} - - 7 x - 12 - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} + 7 x - 18 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
но x4 не удовлетворяет неравенству
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} - 7 x + 12}\right| \leq 6$$
но
Тогда
$$x \leq 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 1 \wedge x \leq 6$$
$$\left|{x^{2} - 7 x + 12}\right| \leq 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} - 7 x + 12}\right| = 6$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x^{2} - 7 x + 12 \geq 0$$
или
$$\left(4 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 3 \wedge -\infty < x\right)$$
получаем ур-ние
$$x^{2} - 7 x + 12 - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} - 7 x + 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
2.
$$x^{2} - 7 x + 12 < 0$$
или
$$3 < x \wedge x < 4$$
получаем ур-ние
$$- x^{2} - - 7 x - 12 - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} + 7 x - 18 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
но x4 не удовлетворяет неравенству
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} - 7 x + 12}\right| \leq 6$$
| 2 7*9 | |9/10 - --- + 12| <= 6 | 10 |
651 --- <= 6 100
но
651 --- >= 6 100
Тогда
$$x \leq 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 1 \wedge x \leq 6$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2
Решение неравенства на графике