(x^2-4*x-12)*(x^3+1)*1/((x^2-8*x+12)*(x^2-2*x))>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x^2-4*x-12)*(x^3+1)*1/((x^2-8*x+12)*(x^2-2*x))>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     / 2           \ / 3    \     
     \x  - 4*x - 12/*\x  + 1/     
    -------------------------- > 0
    / 2           \ / 2      \    
    \x  - 8*x + 12/*\x  - 2*x/    
    $$\frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(x^{2} - 4 x - 12\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right) \left(x^{2} - 8 x + 12\right)} > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(x^{2} - 4 x - 12\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right) \left(x^{2} - 8 x + 12\right)} > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(x^{2} - 4 x - 12\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right) \left(x^{2} - 8 x + 12\right)} = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(x^{2} - 4 x - 12\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right) \left(x^{2} - 8 x + 12\right)} > 0$$
         /      2               \ /      3    \        
         |/-21 \    4*(-21)     | |/-21 \     |        
         ||----|  - ------- - 12|*||----|  + 1|        
         \\ 10 /       10       / \\ 10 /     /        
    ----------------------------------------------- > 0
                                                  1    
    //      2               \ /      2          \\     
    ||/-21 \    8*(-21)     | |/-21 \    2*(-21)||     
    |||----|  - ------- + 12|*||----|  - -------||     
    \\\ 10 /       10       / \\ 10 /       10  //     

    -8261     
    ------ > 0
    353010    

    Тогда
    $$x < -2$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -2 \wedge x < -1$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-2 < x, x < -1), And(0 < x, x < 2), And(2 < x, x < 6), And(6 < x, x < oo))
    $$\left(-2 < x \wedge x < -1\right) \vee \left(0 < x \wedge x < 2\right) \vee \left(2 < x \wedge x < 6\right) \vee \left(6 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-2, -1) U (0, 2) U (2, 6) U (6, oo)
    $$x \in \left(-2, -1\right) \cup \left(0, 2\right) \cup \left(2, 6\right) \cup \left(6, \infty\right)$$