(7+6*x-x^2)*(3*x-5)<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (7+6*x-x^2)*(3*x-5)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    /           2\              
    \7 + 6*x - x /*(3*x - 5) < 0
    $$\left(3 x - 5\right) \left(- x^{2} + 6 x + 7\right) < 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(3 x - 5\right) \left(- x^{2} + 6 x + 7\right) < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(3 x - 5\right) \left(- x^{2} + 6 x + 7\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(3 x - 5\right) \left(- x^{2} + 6 x + 7\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$3 x - 5 = 0$$
    $$- x^{2} + 6 x + 7 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$3 x - 5 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$3 x = 5$$
    Разделим обе части ур-ния на 3
    x = 5 / (3)

    Получим ответ: x1 = 5/3
    2.
    $$- x^{2} + 6 x + 7 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = 6$$
    $$c = 7$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (6)^2 - 4 * (-1) * (7) = 64

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 7$$
    $$x_{1} = \frac{5}{3}$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 7$$
    $$x_{1} = \frac{5}{3}$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{3} = 7$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = \frac{5}{3}$$
    $$x_{3} = 7$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(3 x - 5\right) \left(- x^{2} + 6 x + 7\right) < 0$$
    /                    2\                  
    |    6*(-11)   /-11 \ | /3*(-11)    \    
    |7 + ------- - |----| |*|------- - 5| < 0
    \       10     \ 10 / / \   10      /    

    6723    
    ---- < 0
    1000    

    но
    6723    
    ---- > 0
    1000    

    Тогда
    $$x < -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -1 \wedge x < \frac{5}{3}$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x2      x1      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -1 \wedge x < \frac{5}{3}$$
    $$x > 7$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-1 < x, x < 5/3), And(7 < x, x < oo))
    $$\left(-1 < x \wedge x < \frac{5}{3}\right) \vee \left(7 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-1, 5/3) U (7, oo)
    $$x \in \left(-1, \frac{5}{3}\right) \cup \left(7, \infty\right)$$