x+10*1/x-11<0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x+10*1/x-11<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
        10         
    x + -- - 11 < 0
        x          
    $$x + \frac{10}{x} - 11 < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$x + \frac{10}{x} - 11 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x + \frac{10}{x} - 11 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$x + \frac{10}{x} - 11 = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    и x
    получим:
    $$x \left(x + \frac{10}{x} - 11\right) = 0 x$$
    $$x^{2} - 11 x + 10 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -11$$
    $$c = 10$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-11)^2 - 4 * (1) * (10) = 81

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 10$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = 10$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = 10$$
    $$x_{2} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = 10$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$x + \frac{10}{x} - 11 < 0$$
    $$-11 + \frac{9}{10} + \frac{10}{\frac{9}{10}} < 0$$
    91    
    -- < 0
    90    

    но
    91    
    -- > 0
    90    

    Тогда
    $$x < 1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 1 \wedge x < 10$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < 0), And(1 < x, x < 10))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(1 < x \wedge x < 10\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, 0) U (1, 10)
    $$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(1, 10\right)$$