5^(1/x)*2^x>2^1*5^1 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 5^(1/x)*2^x>2^1*5^1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    x ___  x     
    \/ 5 *2  > 10
    $$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} = 10$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
         __________________________               
        /    2          / log(16)\                
    - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)   1 
    ----------------------------------------- - --
                         1                      10
                    2*log (2)                     

    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    подставляем в выражение
    $$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
                           1                                                                            
     ----------------------------------------------                                                     
          __________________________                      __________________________                    
         /    2          / log(16)\                      /    2          / log(16)\                     
     - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)   1   - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)   1      
     ----------------------------------------- - --  ----------------------------------------- - --     
                          1                      10                       1                      10     
                     2*log (2)                                       2*log (2)                          
    5                                              *2                                               > 10

                                                                              1                             
                                                       ------------------------------------------------     
                 __________________________                        __________________________               
                /    2          / log(16)\                        /    2          / log(16)\                
       1    - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)    1    - \/  log (10) - log\5       /  + log(10) > 10
     - -- + -----------------------------------------  - -- + -----------------------------------------     
       10                    2*log(2)                    10                    2*log(2)                     
    2                                                *5                                                     
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    $$x > \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                __________________________          \     /           __________________________              \\
      |   |               /    2          / log(16)\           |     |          /    2          / log(16)\               ||
      |   |           - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)|     |        \/  log (10) - log\5       /  + log(10)    ||
    Or|And|0 < x, x < -----------------------------------------|, And|x < oo, --------------------------------------- < x||
      \   \                            2*log(2)                /     \                        2*log(2)                   //
    $$\left(0 < x \wedge x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right) < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             __________________________                  __________________________               
            /    2          / log(16)\                  /    2          / log(16)\                
        - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)     \/  log (10) - log\5       /  + log(10)     
    (0, -----------------------------------------) U (---------------------------------------, oo)
                         2*log(2)                                     2*log(2)                    
    $$x \in \left(0, \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)\right) \cup \left(\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right), \infty\right)$$