y>=-x^2-2*x+8 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: y>=-x^2-2*x+8 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$y \geq - x^{2} - 2 x + 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$y = - x^{2} - 2 x + 8$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$y = - x^{2} - 2 x + 8$$
в
$$y + - -1 x^{2} - - 2 x - 8 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = y - 8$$
, то
Уравнение имеет два корня.
или
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$\frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$y \geq - x^{2} - 2 x + 8$$
Тогда
$$x \leq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1 \wedge x \leq - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$y \geq - x^{2} - 2 x + 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$y = - x^{2} - 2 x + 8$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$y = - x^{2} - 2 x + 8$$
в
$$y + - -1 x^{2} - - 2 x - 8 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = y - 8$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(2)^2 - 4 * (1) * (-8 + y) = 36 - 4*y
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
__________
\/ 36 - 4*y 1
-1 + ------------ - --
2 10=
$$\frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$y \geq - x^{2} - 2 x + 8$$
2
/ __________ \ / __________ \
| \/ 36 - 4*y 1 | | \/ 36 - 4*y 1 |
y >= - |-1 + ------------ - --| - 2*|-1 + ------------ - --| + 8
\ 2 10/ \ 2 10/ 2
/ __________\
y >= 51 __________ | 11 \/ 36 - 4*y |
-- - \/ 36 - 4*y - |- -- + ------------|
5 \ 10 2 / Тогда
$$x \leq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1 \wedge x \leq - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y + 36} - 1$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2