Предел функции log(sin(3*x))/(-pi + 6*x)^2

Вы ввели

      /log(sin(3*x))\
 lim  |-------------|
   pi |            2|
x->--+\ (-pi + 6*x) /
   6                 

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\left(6 x - \pi\right)^{2}}\right)$$

Слева и справа

      /log(sin(3*x))\
 lim  |-------------|
   pi |            2|
x->--+\ (-pi + 6*x) /
   6                 

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\left(6 x - \pi\right)^{2}}\right)$$

-1/8

$$- \frac{1}{8}$$

= -0.125

      /log(sin(3*x))\
 lim  |-------------|
   pi |            2|
x->---\ (-pi + 6*x) /
   6                 

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^-}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\left(6 x - \pi\right)^{2}}\right)$$

-1/8

$$- \frac{1}{8}$$

= -0.125

Быстрый ответ

-1/8

$$- \frac{1}{8}$$

Численный ответ

-0.125

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+} \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+} \left(6 x - \pi\right)^{2} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\left(6 x - \pi\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(6 x - \pi\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\left(72 x - 12 \pi\right) \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{72 x - 12 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 \cos{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(72 x - 12 \pi\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+}\left(- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+} - \frac{1}{8}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}^+} - \frac{1}{8}$$
=
$$- \frac{1}{8}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)

График