Предел функции (-1 + x)/(-1 + x^2)

Вы ввели

     / -1 + x\
 lim |-------|
x->1+|      2|
     \-1 + x /

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right)$$
преобразуем
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x + 1} = $$
$$\frac{1}{1 + 1} = $$

= 1/2

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right) = \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Слева и справа

     / -1 + x\
 lim |-------|
x->1+|      2|
     \-1 + x /

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

     / -1 + x\
 lim |-------|
x->1-|      2|
     \-1 + x /

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

0.5

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - 1\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График