Предел функции tan(x)/sin(2*x)

Вы ввели

      / tan(x) \
 lim  |--------|
x->pi+\sin(2*x)/

$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$

Слева и справа

      / tan(x) \
 lim  |--------|
x->pi+\sin(2*x)/

$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

      / tan(x) \
 lim  |--------|
x->pi-\sin(2*x)/

$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Быстрый ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Численный ответ

0.5

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \pi^+} \tan{\left(x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График