- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- Предел функции:
- sin(x)/x
- sin(x)
- 6^(1/(-3 + x))
- (1 - 1/n)^n
Идентичные выражения
- (один - cos(x))/x^ два
- (1 минус косинус от ( х )) делить на х в квадрате
- (один минус косинус от ( х )) делить на х в степени два
- (1 - cos(x))/x2
- (1 - cos(x))/x²
- (1 - cos(x))/x в степени 2
- (1 - cos(x)) разделить на x^2
- (1 - cos(x)) : x^2
- (1 - cos(x)) ÷ x^2
Похожие выражения
- (1 + cos(x))/x^2
- 2*(1 - cos(x))/x^2
- (1 - cosx)/x^2
Выражения c функциями
- Косинус cos
- cos(x)/x
- 5^x - cos(x)
- cos(x)^(pi/2 - x)
- x + cos(x)
- cos(1/x)
Предел функции (1 - cos(x))/x^2
Препод очень удивится увидев твоё верное решение предела😉
Решение
Вы ввели
[src]
/1 - cos(x)\
lim |----------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Используем тригонометрическую формулу
преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.
тогда
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = 2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}$$
=
$$\frac{2}{4}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Используем тригонометрическую формулу
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.
тогда
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = 2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}$$
=
$$\frac{2}{4}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
Слева и справа
[src]
/1 - cos(x)\
lim |----------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/1 - cos(x)\
lim |----------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
Численный ответ
[src]
0.5
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
0/0,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
- absolute(x)
-
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция - арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция - арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- exp(x)
- Функция - экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
-
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - sin(x)
- Функция - Синус от x
- cos(x)
- Функция - Косинус от x
- sinh(x)
- Функция - Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция - Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция - квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция - Квадрат x
- ctg(x)
- Функция - Котангенс от x
- arcctg(x)
- Функция - Арккотангенс от x
- arcctgh(x)
- Функция - Гиперболический арккотангенс от x
- tg(x)
- Функция - Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция - Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция - кубический корень из x
- gamma(x)
- Гамма-функция
- LambertW(x)
- Функция Ламберта
- x! или factorial(x)
- Факториал от x
- DiracDelta(x)
- Дельта-функция Дирака
- Heaviside(x)
- Функция Хевисайда
В выражениях можно применять следующие операции:
Другие функции:
Постоянные:
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
- 2*x
- - умножение
- 3/x
- - деление
- x^3
- - возведение в степень
- x + 7
- - сложение
- x - 6
- - вычитание
- 15/7
- - дробь
Другие функции:
- asec(x)
- Функция - арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция - арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция - секанс от x
- csc(x)
- Функция - косеканс от x
- floor(x)
- Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция - Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция - гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция - гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция - гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
- e
- Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности - знак для бесконечности