Предел функции lim y = f(x) = 5*sin(3*x)/(6*x) (5 умножить на синус от (3 умножить на х) делить на (6 умножить на х)) в точке x -> x0 и бесконечности - найти и вычислить с подробным решением онлайн [Есть ОТВЕТ!]

Предел функции 5*sin(3*x)/(6*x)

Препод очень удивится увидев твоё верное решение предела😉

Знак предела
↑ Функция f(x) ?

Для конечных точек:

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     /5*sin(3*x)\
 lim |----------|
x->0+\   6*x    /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = 3 x$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{2}$$
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{2}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{5 \sin{\left(3 \right)}}{6}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{5 \sin{\left(3 \right)}}{6}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
Быстрый ответ [src]
5/2
$$\frac{5}{2}$$
Слева и справа [src]
     /5*sin(3*x)\
 lim |----------|
x->0+\   6*x    /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
5/2
$$\frac{5}{2}$$
= 2.5
     /5*sin(3*x)\
 lim |----------|
x->0-\   6*x    /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
5/2
$$\frac{5}{2}$$
= 2.5
Численный ответ [src]
2.5
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{5}\right) = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{6 x}{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(3 x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{2}$$
=
$$\frac{5}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Предел функции 5*sin(3*x)/(6*x) /media/krcore-image-pods/d/fd/b560445d2e37b3c44227a555d8ebc.png

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
15/7
- дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция - арксеканс от x
acsc(x)
Функция - арккосеканс от x
sec(x)
Функция - секанс от x
csc(x)
Функция - косеканс от x
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция - гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция - гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности - знак для бесконечности
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: