- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- Предел функции:
- x^2*sin(1/x)
- log(x)
- 1/(1 - x) - 3/(1 - x^3)
- tan(5*x)/x
Идентичные выражения
- (sqrt(один + x) - sqrt(один - x))/x
- ( квадратный корень из (1 плюс х ) минус квадратный корень из (1 минус х )) делить на х
- ( квадратный корень из (один плюс х ) минус квадратный корень из (один минус х )) делить на х
- (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)) разделить на x
- (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)) : x
- (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)) ÷ x
Похожие выражения
- (sqrt(1 - x) - sqrt(1 - x))/x
- (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/x^(1/3)
- (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/x^(1/7)
- (sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/x
- (sqrt(1 + x) - sqrt(1 + x))/x
Выражения c функциями
- Квадратный корень sqrt
- (-3 + sqrt(1 + 2*x))/(sqrt(-2 + x) - sqrt(2))
- (-3 + sqrt(3 + 2*x))/(-1 + sqrt(-2 + x))
- (2 - sqrt(-3 + x))/(-49 + x^2)
- (sqrt(1 + 3*x) - sqrt(6 + 2*x))/(x^2 - 5*x)
- (-3 + sqrt(1 + 2*x))/(-2 + sqrt(x))
- Квадратный корень sqrt
- (-3 + sqrt(1 + 2*x))/(sqrt(-2 + x) - sqrt(2))
- (-3 + sqrt(3 + 2*x))/(-1 + sqrt(-2 + x))
- (2 - sqrt(-3 + x))/(-49 + x^2)
- (sqrt(1 + 3*x) - sqrt(6 + 2*x))/(x^2 - 5*x)
- (-3 + sqrt(1 + 2*x))/(-2 + sqrt(x))
Предел функции (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/x
Препод очень удивится увидев твоё верное решение предела😉
Решение
Вы ввели
[src]
/ _______ _______\
|\/ 1 + x - \/ 1 - x |
lim |---------------------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
Домножим числитель и знаменатель на
$$\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}$$
получим
$$\frac{\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x} \left(\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}$$
=
$$\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}$$
=
$$\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}$$
Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
Домножим числитель и знаменатель на
$$\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}$$
получим
$$\frac{\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x} \left(\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}$$
=
$$\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}$$
=
$$\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}$$
Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
График
Слева и справа
[src]
/ _______ _______\
|\/ 1 + x - \/ 1 - x |
lim |---------------------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
/ _______ _______\
|\/ 1 + x - \/ 1 - x |
lim |---------------------|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = \sqrt{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = \sqrt{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = \sqrt{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = \sqrt{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
Численный ответ
[src]
1.0
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}\right)$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
0/0,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}\right)$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
- absolute(x)
-
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция - арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция - арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- exp(x)
- Функция - экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
-
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - sin(x)
- Функция - Синус от x
- cos(x)
- Функция - Косинус от x
- sinh(x)
- Функция - Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция - Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция - квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция - Квадрат x
- ctg(x)
- Функция - Котангенс от x
- arcctg(x)
- Функция - Арккотангенс от x
- arcctgh(x)
- Функция - Гиперболический арккотангенс от x
- tg(x)
- Функция - Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция - Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция - кубический корень из x
- gamma(x)
- Гамма-функция
- LambertW(x)
- Функция Ламберта
- x! или factorial(x)
- Факториал от x
- DiracDelta(x)
- Дельта-функция Дирака
- Heaviside(x)
- Функция Хевисайда
В выражениях можно применять следующие операции:
Другие функции:
Постоянные:
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
- 2*x
- - умножение
- 3/x
- - деление
- x^3
- - возведение в степень
- x + 7
- - сложение
- x - 6
- - вычитание
- 15/7
- - дробь
Другие функции:
- asec(x)
- Функция - арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция - арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция - секанс от x
- csc(x)
- Функция - косеканс от x
- floor(x)
- Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция - Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция - гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция - гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция - гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
- e
- Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности - знак для бесконечности