Производная 2+(1/2)*(exp(x)-exp(-x))

Вы ввели

     x    -x
    e  - e  
2 + --------
       2    

$$\frac{1}{2} \left(e^{x} - e^{- x}\right) + 2$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{1}{2} \left(e^{x} - e^{- x}\right) + 2$ почленно:

   1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. дифференцируем $e^{x} - e^{- x}$ почленно:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим $u = - x$.

            2. Производная $e^{u}$ само оно.

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x\right)$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $-1$

               В результате последовательности правил:

               $- e^{- x}$

            Таким образом, в результате: $e^{- x}$

         В результате: $e^{x} + e^{- x}$

      Таким образом, в результате: $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

   В результате: $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

2. Теперь упростим:

   $\cosh{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\cosh{\left (x \right )}$

Первая производная

 x    -x
e    e  
-- + ---
2     2 

$$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$$

Вторая производная

   -x    x
- e   + e 
----------
    2     

$$\frac{1}{2} \left(e^{x} - e^{- x}\right)$$

Третья производная

 x    -x
e  + e  
--------
   2    

$$\frac{1}{2} \left(e^{x} + e^{- x}\right)$$