Производная (2*t-1)/(2*(t^2)-t)^(1/2)

Вы ввели

   2*t - 1   
-------------
   __________
  /    2     
\/  2*t  - t 

$$\frac{2 t - 1}{\sqrt{2 t^{2} - t}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = 2 t - 1$ и $g{\left (t \right )} = \sqrt{2 t^{2} - t}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. дифференцируем $2 t - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате: $2$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 t^{2} - t$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t^{2} - t\right)$:

      1. дифференцируем $2 t^{2} - t$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t^{2}$ получим $2 t$

            Таким образом, в результате: $4 t$

         В результате: $4 t - 1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{4 t - 1}{2 \sqrt{2 t^{2} - t}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{2 t^{2} - t} \left(- \frac{\left(2 t - 1\right) \left(4 t - 1\right)}{2 \sqrt{2 t^{2} - t}} + 2 \sqrt{2 t^{2} - t}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 t \sqrt{t \left(2 t - 1\right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 t \sqrt{t \left(2 t - 1\right)}}$

Первая производная

      2         (-1/2 + 2*t)*(2*t - 1)
------------- - ----------------------
   __________                 3/2     
  /    2            /   2    \        
\/  2*t  - t        \2*t  - t/        

$$- \frac{\left(2 t - 1\right) \left(2 t - \frac{1}{2}\right)}{\left(2 t^{2} - t\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{\sqrt{2 t^{2} - t}}$$

Вторая производная

                       2
           3*(-1 + 4*t) 
4 - 12*t + -------------
                4*t     
------------------------
                 3/2    
   (t*(-1 + 2*t))       

$$\frac{1}{\left(t \left(2 t - 1\right)\right)^{\frac{3}{2}}} \left(- 12 t + 4 + \frac{3}{4 t} \left(4 t - 1\right)^{2}\right)$$

Третья производная

  /                                 3                2 \
  |     3*(-1 + 4*t)    5*(-1 + 4*t)     3*(-1 + 4*t)  |
3*|-4 + ------------ - --------------- + --------------|
  |          t            2              2*t*(-1 + 2*t)|
  \                    8*t *(-1 + 2*t)                 /
--------------------------------------------------------
                                 3/2                    
                   (t*(-1 + 2*t))                       

$$\frac{1}{\left(t \left(2 t - 1\right)\right)^{\frac{3}{2}}} \left(-12 + \frac{1}{t} \left(36 t - 9\right) + \frac{9 \left(4 t - 1\right)^{2}}{2 t \left(2 t - 1\right)} - \frac{15 \left(4 t - 1\right)^{3}}{8 t^{2} \left(2 t - 1\right)}\right)$$