Производная exp(x)/(1+exp(-x))

Вы ввели

    x  
   e   
-------
     -x
1 + e  

$$\frac{e^{x}}{1 + e^{- x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{2 x}$ и $g{\left (x \right )} = e^{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 e^{2 x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(2 \left(e^{x} + 1\right) e^{2 x} - e^{3 x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(e^{x} + 2\right) e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(e^{x} + 2\right) e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

                 x  
    1           e   
---------- + -------
         2        -x
/     -x\    1 + e  
\1 + e  /           

$$\frac{e^{x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Вторая производная

               -x        
   1        2*e         x
------- + ---------- + e 
     -x            2     
1 + e     /     -x\      
          \1 + e  /      
-------------------------
              -x         
         1 + e           

$$\frac{1}{1 + e^{- x}} \left(e^{x} + \frac{1}{1 + e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

              -2*x       
   1       6*e          x
------- + ---------- + e 
     -x            3     
1 + e     /     -x\      
          \1 + e  /      
-------------------------
              -x         
         1 + e           

$$\frac{1}{1 + e^{- x}} \left(e^{x} + \frac{1}{1 + e^{- x}} + \frac{6 e^{- 2 x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{3}}\right)$$