Производная exp(x)/(1+exp(x))

Вы ввели

   x  
  e   
------
     x
1 + e 

$$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = e^{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(\left(e^{x} + 1\right) e^{x} - e^{2 x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   x         2*x  
  e         e     
------ - ---------
     x           2
1 + e    /     x\ 
         \1 + e / 

$$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/        x         2*x \   
|     3*e       2*e    |  x
|1 - ------ + ---------|*e 
|         x           2|   
|    1 + e    /     x\ |   
\             \1 + e / /   
---------------------------
                x          
           1 + e           

$$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \left(1 - \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 1} + \frac{2 e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/        x         3*x         2*x \   
|     7*e       6*e        12*e    |  x
|1 - ------ - --------- + ---------|*e 
|         x           3           2|   
|    1 + e    /     x\    /     x\ |   
\             \1 + e /    \1 + e / /   
---------------------------------------
                      x                
                 1 + e                 

$$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \left(1 - \frac{7 e^{x}}{e^{x} + 1} + \frac{12 e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} - \frac{6 e^{3 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}}\right)$$