Производная exp(x)/pow(x,3)-pow(sin(x),3)-2

Вы ввели

 x              
e       3       
-- - sin (x) - 2
 3              
x               

$$- \sin^{3}{\left(x \right)} - 2 + \frac{e^{x}}{x^{3}}$$

  / x              \
d |e       3       |
--|-- - sin (x) - 2|
dx| 3              |
  \x               /

$$\frac{d}{d x} \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} - 2 + \frac{e^{x}}{x^{3}}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \sin^{3}{\left(x \right)} - 2 + \frac{e^{x}}{x^{3}}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$ и $g{\left(x \right)} = x^{3}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   3. Производная постоянной $\left(-1\right) 2$ равна нулю.

   В результате: $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

2. Теперь упростим:

   $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x^{3}} - \frac{3 e^{x}}{x^{4}}$

---

Ответ:

$- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x^{3}} - \frac{3 e^{x}}{x^{4}}$

Первая производная

 x      x                   
e    3*e         2          
-- - ---- - 3*sin (x)*cos(x)
 3     4                    
x     x                     

$$- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x^{3}} - \frac{3 e^{x}}{x^{4}}$$

Вторая производная

             x      x                          x
     3      e    6*e         2             12*e 
3*sin (x) + -- - ---- - 6*cos (x)*sin(x) + -----
             3     4                          5 
            x     x                          x  

$$3 \sin^{3}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x^{3}} - \frac{6 e^{x}}{x^{4}} + \frac{12 e^{x}}{x^{5}}$$

Третья производная

               x       x      x                           x
       3      e    60*e    9*e          2             36*e 
- 6*cos (x) + -- - ----- - ---- + 21*sin (x)*cos(x) + -----
               3      6      4                           5 
              x      x      x                           x  

$$21 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x^{3}} - \frac{9 e^{x}}{x^{4}} + \frac{36 e^{x}}{x^{5}} - \frac{60 e^{x}}{x^{6}}$$

График