Производная e^(2-x)*cos((pi*x)/2)

Вы ввели

 2 - x    /pi*x\
E     *cos|----|
          \ 2  /

$$e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{- x + 2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - x + 2$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + 2\right)$:

      1. дифференцируем $- x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- e^{- x + 2}$

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\pi$

         Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$

   В результате: $- \frac{\pi}{2} e^{- x + 2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \left(\frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}$

---

Ответ:

$- \left(\frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}$

Первая производная

                         2 - x    /pi*x\
                     pi*e     *sin|----|
     /pi*x\  2 - x                \ 2  /
- cos|----|*e      - -------------------
     \ 2  /                   2         

$$- \frac{\pi}{2} e^{- x + 2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$$

Вторая производная

/                 2    /pi*x\            \       
|               pi *cos|----|            |       
|      /pi*x\          \ 2  /      /pi*x\|  2 - x
|pi*sin|----| - ------------- + cos|----||*e     
\      \ 2  /         4            \ 2  //       

$$\left(\pi \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - \frac{\pi^{2}}{4} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}$$

Третья производная

/                      /pi*x\     3    /pi*x\       2    /pi*x\\       
|              3*pi*sin|----|   pi *sin|----|   3*pi *cos|----||       
|     /pi*x\           \ 2  /          \ 2  /            \ 2  /|  2 - x
|- cos|----| - -------------- + ------------- + ---------------|*e     
\     \ 2  /         2                8                4       /       

$$\left(- \frac{3 \pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \frac{\pi^{3}}{8} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \frac{3 \pi^{2}}{4} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}$$