Производная sqrt(2+e^(4*x))^(1/4)+sqrt(3)

Вы ввели

    _______________        
   /    __________         
4 /    /      4*x       ___
\/   \/  2 + e      + \/ 3 

$$\sqrt[4]{\sqrt{e^{4 x} + 2}} + \sqrt{3}$$

  /    _______________        \
  |   /    __________         |
d |4 /    /      4*x       ___|
--\\/   \/  2 + e      + \/ 3 /
dx                             

$$\frac{d}{d x} \left(\sqrt[4]{\sqrt{e^{4 x} + 2}} + \sqrt{3}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sqrt[4]{\sqrt{e^{4 x} + 2}} + \sqrt{3}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sqrt{e^{4 x} + 2}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt[4]{u}$ получим $\frac{1}{4 u^{\frac{3}{4}}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{e^{4 x} + 2}$:

      1. Заменим $u = e^{4 x} + 2$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(e^{4 x} + 2\right)$:

         1. дифференцируем $e^{4 x} + 2$ почленно:

            1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

            2. Заменим $u = 4 x$.

            3. Производная $e^{u}$ само оно.

            4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $4$

               В результате последовательности правил:

               $4 e^{4 x}$

            В результате: $4 e^{4 x}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2 e^{4 x}}{\sqrt{e^{4 x} + 2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{e^{4 x}}{2 \left(e^{4 x} + 2\right)^{\frac{7}{8}}}$

   4. Производная постоянной $\sqrt{3}$ равна нулю.

   В результате: $\frac{e^{4 x}}{2 \left(e^{4 x} + 2\right)^{\frac{7}{8}}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{4 x}}{2 \left(e^{4 x} + 2\right)^{\frac{7}{8}}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{4 x}}{2 \left(e^{4 x} + 2\right)^{\frac{7}{8}}}$

Первая производная

   __________     
8 /      4*x   4*x
\/  2 + e    *e   
------------------
     /     4*x\   
   2*\2 + e   /   

$$\frac{\sqrt[8]{e^{4 x} + 2} e^{4 x}}{2 \left(e^{4 x} + 2\right)}$$

Вторая производная

/          4*x   \     
|       7*e      |  4*x
|2 - ------------|*e   
|      /     4*x\|     
\    4*\2 + e   //     
-----------------------
               7/8     
     /     4*x\        
     \2 + e   /        

$$\frac{\left(2 - \frac{7 e^{4 x}}{4 \left(e^{4 x} + 2\right)}\right) e^{4 x}}{\left(e^{4 x} + 2\right)^{\frac{7}{8}}}$$

Третья производная

/        4*x            8*x  \     
|    21*e          105*e     |  4*x
|8 - -------- + -------------|*e   
|         4*x               2|     
|    2 + e        /     4*x\ |     
\               8*\2 + e   / /     
-----------------------------------
                     7/8           
           /     4*x\              
           \2 + e   /              

$$\frac{\left(8 - \frac{21 e^{4 x}}{e^{4 x} + 2} + \frac{105 e^{8 x}}{8 \left(e^{4 x} + 2\right)^{2}}\right) e^{4 x}}{\left(e^{4 x} + 2\right)^{\frac{7}{8}}}$$

График