Производная (sqrt(x^2+1))+(sqrt(x^3+1)^(1/3))

Вы ввели

                  _____________
   ________      /    ________ 
  /  2        3 /    /  3      
\/  x  + 1  + \/   \/  x  + 1  

$$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\sqrt{x^{3} + 1}}$$

  /                  _____________\
  |   ________      /    ________ |
d |  /  2        3 /    /  3      |
--\\/  x  + 1  + \/   \/  x  + 1  /
dx                                 

$$\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\sqrt{x^{3} + 1}}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\sqrt{x^{3} + 1}}$ почленно:

   1. Заменим $u = x^{2} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

   4. Заменим $u = \sqrt{x^{3} + 1}$.

   5. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

   6. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x^{3} + 1}$:

      1. Заменим $u = x^{3} + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 1\right)$:

         1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $3 x^{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 1}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{x^{2}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{5}{6}}}$

   В результате: $\frac{x^{2}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{5}{6}}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{5}{6}}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{5}{6}}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Первая производная

                    ________
               2 6 /  3     
     x        x *\/  x  + 1 
----------- + --------------
   ________       / 3    \  
  /  2          2*\x  + 1/  
\/  x  + 1                  

$$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x^{3} + 1}}{2 \left(x^{3} + 1\right)} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

Вторая производная

                                  2               4     
     1             x             x             5*x      
----------- + ----------- - ----------- - --------------
   ________           5/6           3/2             11/6
  /      2    /     3\      /     2\        /     3\    
\/  1 + x     \1 + x /      \1 + x /      4*\1 + x /    

$$- \frac{5 x^{4}}{4 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{11}{6}}} - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{5}{6}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

Третья производная

                                   3              3                6     
     1            3*x           3*x           15*x             55*x      
----------- - ----------- + ----------- - -------------- + --------------
        5/6           3/2           5/2             11/6             17/6
/     3\      /     2\      /     2\        /     3\         /     3\    
\1 + x /      \1 + x /      \1 + x /      2*\1 + x /       8*\1 + x /    

$$\frac{55 x^{6}}{8 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{17}{6}}} - \frac{15 x^{3}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{11}{6}}} + \frac{3 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{5}{6}}}$$

График