Производная (1/2*x^2-3*x)^(1/3)

Вы ввели

     __________
    /  2       
   /  x        
3 /   -- - 3*x 
\/    2        

$$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - 3 x}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x^{2}}{2} - 3 x$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}}{2} - 3 x\right)$:

   1. дифференцируем $\frac{x^{2}}{2} - 3 x$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $x$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         Таким образом, в результате: $-3$

      В результате: $x - 3$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{x - 3}{3 \left(\frac{x^{2}}{2} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(x - 3\right)}{3 \left(x \left(x - 6\right)\right)^{\frac{2}{3}}}$

---

Ответ:

$\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(x - 3\right)}{3 \left(x \left(x - 6\right)\right)^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная

         x   
    -1 + -   
         3   
-------------
          2/3
/ 2      \   
|x       |   
|-- - 3*x|   
\2       /   

$$\frac{\frac{x}{3} - 1}{\left(\frac{x^{2}}{2} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Вторая производная

               2 
     2*(-3 + x)  
 3 - ----------- 
        /     x\ 
      x*|-3 + -| 
        \     2/ 
-----------------
              2/3
  /  /     x\\   
9*|x*|-3 + -||   
  \  \     2//   

$$\frac{3 - \frac{2 \left(x - 3\right)^{2}}{x \left(\frac{x}{2} - 3\right)}}{9 \left(x \left(\frac{x}{2} - 3\right)\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Третья производная

  /               2\         
  |     5*(-3 + x) |         
2*|-9 + -----------|*(-3 + x)
  |        /     x\|         
  |      x*|-3 + -||         
  \        \     2//         
-----------------------------
                     5/3     
         /  /     x\\        
      27*|x*|-3 + -||        
         \  \     2//        

$$\frac{2}{27 \left(x \left(\frac{x}{2} - 3\right)\right)^{\frac{5}{3}}} \left(-9 + \frac{5 \left(x - 3\right)^{2}}{x \left(\frac{x}{2} - 3\right)}\right) \left(x - 3\right)$$