Производная (1/3*(3*x^2-2*x^3)^-2/3*(6*x-6*x^2))

Вы ввели

        1          /         2\
------------------*\6*x - 6*x /
               2/3             
  /   2      3\                
3*\3*x  - 2*x /                

$$\frac{1}{3 \left(- 2 x^{3} + 3 x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} \left(- 6 x^{2} + 6 x\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - 6 x^{2} + 6 x$ и $g{\left (x \right )} = 3 \left(- 2 x^{3} + 3 x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- 6 x^{2} + 6 x$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $- 12 x$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $6$

      В результате: $- 12 x + 6$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = - 2 x^{3} + 3 x^{2}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{\frac{2}{3}}$ получим $\frac{2}{3 \sqrt[3]{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- 2 x^{3} + 3 x^{2}\right)$:

         1. дифференцируем $- 2 x^{3} + 3 x^{2}$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

               Таким образом, в результате: $- 6 x^{2}$

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               Таким образом, в результате: $6 x$

            В результате: $- 6 x^{2} + 6 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{- 12 x^{2} + 12 x}{3 \sqrt[3]{- 2 x^{3} + 3 x^{2}}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{- 12 x^{2} + 12 x}{\sqrt[3]{- 2 x^{3} + 3 x^{2}}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{9 \left(- 2 x^{3} + 3 x^{2}\right)^{\frac{4}{3}}} \left(3 \left(- 12 x + 6\right) \left(- 2 x^{3} + 3 x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \frac{2 \left(- 6 x^{2} + 6 x\right)^{2}}{\sqrt[3]{- 2 x^{3} + 3 x^{2}}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\left(x^{2} \left(- 2 x + 3\right)\right)^{\frac{2}{3}} \left(2 x - 3\right)}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\left(x^{2} \left(- 2 x + 3\right)\right)^{\frac{2}{3}} \left(2 x - 3\right)}$

Первая производная

                     /          2\ /         2\
     6 - 12*x        \-4*x + 4*x /*\6*x - 6*x /
------------------ + --------------------------
               2/3                      5/3    
  /   2      3\            /   2      3\       
3*\3*x  - 2*x /          3*\3*x  - 2*x /       

$$\frac{- 12 x + 6}{3 \left(- 2 x^{3} + 3 x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) \left(- 6 x^{2} + 6 x\right)}{3 \left(- 2 x^{3} + 3 x^{2}\right)^{\frac{5}{3}}}$$

Вторая производная

  /                                                               2        \
  |     4*(-1 + x)*(-1 + 2*x)   2*(1 - x)*(-1 + 2*x)   20*(-1 + x) *(1 - x)|
4*|-1 - --------------------- + -------------------- + --------------------|
  |          x*(3 - 2*x)            x*(3 - 2*x)                       2    |
  \                                                        x*(3 - 2*x)     /
----------------------------------------------------------------------------
                                           2/3                              
                             / 2          \                                 
                             \x *(3 - 2*x)/                                 

$$\frac{1}{\left(x^{2} \left(- 2 x + 3\right)\right)^{\frac{2}{3}}} \left(-4 + \frac{8 \left(- x + 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(- 2 x + 3\right)} - \frac{16 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(- 2 x + 3\right)} + \frac{80 \left(- x + 1\right) \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(- 2 x + 3\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

  /                                                          2                          3                                         \
  |              2                                30*(-1 + x) *(-1 + 2*x)   160*(-1 + x) *(1 - x)   30*(1 - x)*(-1 + x)*(-1 + 2*x)|
8*|- 3*(-1 + 2*x)  - 6*x*(-1 + x) + 2*x*(1 - x) - ----------------------- + --------------------- + ------------------------------|
  |                                                       3 - 2*x                          2                   3 - 2*x            |
  \                                                                               (3 - 2*x)                                       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       5/3                                                         
                                                         / 2          \                                                            
                                                         \x *(3 - 2*x)/                                                            

$$\frac{1}{\left(x^{2} \left(- 2 x + 3\right)\right)^{\frac{5}{3}}} \left(16 x \left(- x + 1\right) - 48 x \left(x - 1\right) - 24 \left(2 x - 1\right)^{2} + \frac{240}{- 2 x + 3} \left(- x + 1\right) \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right) - \frac{240 \left(x - 1\right)^{2} \left(2 x - 1\right)}{- 2 x + 3} + \frac{1280 \left(- x + 1\right) \left(x - 1\right)^{3}}{\left(- 2 x + 3\right)^{2}}\right)$$