Производная (1+(x^(1/2)))^(1/3)

Вы ввели

   ___________
3 /       ___ 
\/  1 + \/ x  

$$\sqrt[3]{\sqrt{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{x} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sqrt{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sqrt{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{6 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная

          1           
----------------------
                   2/3
    ___ /      ___\   
6*\/ x *\1 + \/ x /   

$$\frac{1}{6 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Вторая производная

 / 3           2      \ 
-|---- + -------------| 
 | 3/2     /      ___\| 
 \x      x*\1 + \/ x // 
------------------------
                 2/3    
      /      ___\       
   36*\1 + \/ x /       

$$- \frac{\frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{36 \left(\sqrt{x} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Третья производная

 27            10                18      
---- + ----------------- + --------------
 5/2                   2    2 /      ___\
x       3/2 /      ___\    x *\1 + \/ x /
       x   *\1 + \/ x /                  
-----------------------------------------
                           2/3           
                /      ___\              
            216*\1 + \/ x /              

$$\frac{1}{216 \left(\sqrt{x} + 1\right)^{\frac{2}{3}}} \left(\frac{18}{x^{2} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{10}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} + \frac{27}{x^{\frac{5}{2}}}\right)$$