Производная (5*x^3)/(x-4)^2

Вы ввели

     3  
  5*x   
--------
       2
(x - 4) 

$$\frac{5 x^{3}}{\left(x - 4\right)^{2}}$$

  /     3  \
d |  5*x   |
--|--------|
dx|       2|
  \(x - 4) /

$$\frac{d}{d x} \frac{5 x^{3}}{\left(x - 4\right)^{2}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 5 x^{3}$ и $g{\left(x \right)} = \left(x - 4\right)^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      Таким образом, в результате: $15 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x - 4$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)$:

      1. дифференцируем $x - 4$ почленно:

         1. Производная постоянной $-4$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $2 x - 8$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 5 x^{3} \cdot \left(2 x - 8\right) + 15 x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{4}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5 x^{2} \left(x - 12\right)}{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

---

Ответ:

$\frac{5 x^{2} \left(x - 12\right)}{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

Первая производная

     2        3          
 15*x      5*x *(8 - 2*x)
-------- + --------------
       2             4   
(x - 4)       (x - 4)    

$$\frac{5 x^{3} \cdot \left(8 - 2 x\right)}{\left(x - 4\right)^{4}} + \frac{15 x^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}}$$

Вторая производная

     /         2            \
     |        x        2*x  |
30*x*|1 + --------- - ------|
     |            2   -4 + x|
     \    (-4 + x)          /
-----------------------------
                  2          
          (-4 + x)           

$$\frac{30 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 4} + 1\right)}{\left(x - 4\right)^{2}}$$

Третья производная

   /                   3           2  \
   |     6*x        4*x         9*x   |
30*|1 - ------ - --------- + ---------|
   |    -4 + x           3           2|
   \             (-4 + x)    (-4 + x) /
---------------------------------------
                       2               
               (-4 + x)                

$$\frac{30 \left(- \frac{4 x^{3}}{\left(x - 4\right)^{3}} + \frac{9 x^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{6 x}{x - 4} + 1\right)}{\left(x - 4\right)^{2}}$$

График